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    Formulaire de report


    Statistique complète \(T\)
    Statistique qui vérifie, pour toute fonction \(\psi:E\to{\Bbb R}\) mesurable avec \(\forall\theta\in\Theta,{\Bbb E}_\theta[\lvert\psi(T)\rvert]\lt +\infty\) : $$\Big(\forall\theta\in\Theta,\quad{\Bbb E}_\theta[\psi(T)]=0\Big)\implies\Big(\forall\theta\in\Theta,\quad\psi(T)\overset{{\Bbb P}_\theta-ps}=0\Big)$$(l'espérance nulle \(\forall\theta\) implique la nullité ps \(\forall\theta\))
    • permet de caractériser un Estimateur efficace dans sa classe de biais \(S\), dans le cas où \(\forall\theta\in\Theta,{\Bbb E}[\lvert S\rvert^2]\lt +\infty\) : $$\forall\theta\in\Theta,\quad S\overset{{\Bbb P}_\theta-ps}=\psi(T)\text{ avec }\psi:E\to{\Bbb R}^d\text{ mesurable}$$


    Questions de cours

    Démontrer \((\implies)\) :

    Partir de la définition de \(T\) exhaustive.

    On développe \({\Bbb E}_\theta[\lvert S-{\Bbb E}_\theta[S]\rvert^2]\) en utilisant le fait que l'espérance conditionnelle est une projection (et que les termes sont donc orthogonaux).

    Remplacer en incluant \(\psi\) (\(T\) exhaustive).

    On conclut via le fait que \(S\) est efficace dans sa classe de biais et que \(\psi(T)\) est dans la même classe que \(S\), ce qui fait qu'on est dans le cas d'égalité d'une inégalité, et qu'un terme est nul.


    Démontrer \((\impliedby)\) :

    Pour tout autre estimateur, on peut en avoir un meilleur en prenant l'espérance conditionnelle selon \(T\).

    L' espérance de la différence nulle (en développant les espérances conditionnelles), donc on a l'égalité par complétude.

    On a ainsi montré que \(S\) est meilleur que \(S^\prime\), et donc qu'on a l'efficacité dans la classe de biais.


    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: En quoi les statistiques complètes sont-elles importantes ?
    Verso: Elles sont liées par une fonction mesurable à chaque Estimateur efficace dans sa classe de biais.
    \(\longrightarrow\) Il n'y a qu'une seule statistique efficace dans sa classe de biais.
    Bonus:
    Carte inversée ?:
    END

    Exercices


    Supposons que l'espérance de cet estimateur est nulle.

    Alors \(\theta=0\).

    L'estimateur est alors nul, ce qui nous donne la complétude.